Reelle Folge/Arithmetisches Mittel/Abhängigkeit von Startwert/Konvergenz/Aufgabe

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ . Zu einem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ sei eine reelle Folge rekursiv durch

{}x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}\,

definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ${}x_{0}>a$ ist ${}x_{n}>a$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ${}x_{0}=a$ ist die Folge konstant.

(c) Bei ${}x_{0}<a$ ist ${}x_{n}<a$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist ${}a$ .