Reelle Folge/Arithmetisches Mittel/Abhängigkeit von Startwert/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

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(a) Die Eigenschaft folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels

Das strenge Fallen ergibt sich daraus durch

(b) Die Konstanz ergibt sich durch Induktion, wobei die Voraussetzung den Induktionsanfang sichert und der Induktionsschluss aus

folgt.

(c) Die Eigenschaft folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels

Das strenge Wachstum ergibt sich daraus durch

(d) Nach (a), (b), (c) ist die Folge in jedem Fall monoton und beschränkt, daher konvergiert sie in .

(e) Der Grenzwert sei . Es gilt

Wir wenden die Rechenregeln für Limiten auf die Rekursionsvorschrift an und erhalten

Daraus ergibt sich .
Zur gelösten Aufgabe