Reelle Folgen/Konvergenz und Beschränktheit/Textabschnitt

Definition

Eine Teilmenge ${}M\subseteq \mathbb {R}$ der reellen Zahlen heißt beschränkt, wenn es reelle Zahlen ${}s\leq S$ mit ${}M\subseteq [s,S]$ gibt.

Man nennt ${}S$ dann auch eine obere Schranke von ${}M$ und ${}s$ eine untere Schranke von ${}M$. Diese Begriffe werden auch für Folgen angewendet, und zwar für die Bildmenge ${}{\left\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$. Für die Folge ${}1/n$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, ist ${}1$ eine obere Schranke und ${}0$ eine untere Schranke.

Lemma

Eine konvergente reelle Folge

ist beschränkt.

Beweis

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die konvergente Folge mit dem Limes ${}x\in \mathbb {R}$ und es sei ein ${}\epsilon >0$ gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$

Dann ist insbesondere

$\vert {x_{n}}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {x-x_{n}}\vert \leq \vert {x}\vert +\epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$

Unterhalb von ${}n_{0}$ gibt es nur endlich viele Zahlen, so dass das Maximum

${}B:=\max _{n<n_{0}}\{\vert {x_{n}}\vert ,\,\vert {x}\vert +\epsilon \}\,$

wohldefiniert ist. Daher ist ${}B$ eine obere Schranke und ${}-B$ eine untere Schranke für ${}{\left\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$.

$\Box$

Es ist einfach, beschränkte, aber nicht konvergente Folgen anzugeben.

Beispiel

Die alternierende Folge

${}x_{n}:=(-1)^{n}\,$

ist beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit folgt direkt aus ${}x_{n}\in [-1,1]$ für alle ${}n$. Konvergenz liegt aber nicht vor. Wäre nämlich ${}x\geq 0$ der Grenzwert, so gilt für positives ${}\epsilon <1$ und jedes ungerade ${}n$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert =\vert {-1-x}\vert =1+x\geq 1>\epsilon \,,$

so dass es Folgenwerte außerhalb dieser ${}\epsilon$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.