Reelle Folgen/Konvergenz und Beschränktheit/Textabschnitt

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Definition  

Eine Teilmenge der reellen Zahlen heißt beschränkt, wenn es reelle Zahlen mit gibt.

Man nennt dann auch eine obere Schranke von und eine untere Schranke von . Diese Begriffe werden auch für Folgen angewendet, und zwar für die Bildmenge . Für die Folge , , ist eine obere Schranke und eine untere Schranke.



Lemma  

Beweis  

Es sei die konvergente Folge mit dem Limes und es sei ein gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein derart, dass

Dann ist insbesondere

Unterhalb von gibt es nur endlich viele Zahlen, so dass das Maximum

wohldefiniert ist. Daher ist eine obere Schranke und eine untere Schranke für .


Es ist einfach, beschränkte, aber nicht konvergente Folgen anzugeben.


Beispiel  

Die alternierende Folge

ist beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit folgt direkt aus für alle . Konvergenz liegt aber nicht vor. Wäre nämlich der Grenzwert, so gilt für positives und jedes ungerade die Beziehung

so dass es Folgenwerte außerhalb dieser -Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.