Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn wachsend ist, und ist, so gilt für den Differenzenquotient

für jedes mit . Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert, und dieser ist .
Sei umgekehrt die Ableitung .    Nehmen wir an, dass es zwei Punkte in gibt mit . Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein mit mit

 im Widerspruch zur Voraussetzung.

(2). Es sei nun mit nur endlich vielen Ausnahmen.  Angenommen es wäre für zwei Punkte . Da nach dem ersten Teil wachsend ist, ist auf dem Intervall konstant. Somit ist auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass nur endlich viele Nullstellen besitzt.

Zur bewiesenen Aussage