Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn ${}f$ wachsend ist, und ${}x\in I$ ist, so gilt für den Differenzenquotienten

${}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\geq 0\,$

für jedes ${}h$ mit ${}x+h\in I$. Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert für ${}h\rightarrow 0$, und dieser ist ${}f'(x)$.
Es sei umgekehrt die Ableitung ${}\geq 0$.    Nehmen wir an, dass es zwei Punkte ${}x<x'$ in ${}I$ mit ${}f(x)>f(x')$ gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein ${}c$ mit ${}x<c<x'$ mit

${}f'(c)={\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}<0\,$

 im Widerspruch zur Voraussetzung.

(2). Es sei nun ${}f'(x)>0$ mit nur endlich vielen Ausnahmen.  Angenommen es wäre ${}f(x)=f(x')$ für zwei Punkte ${}x<x'$. Da ${}f$ nach dem ersten Teil wachsend ist, ist ${}f$ auf dem Intervall ${}[x,x']$ konstant. Somit ist ${}f'=0$ auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt.

Zur bewiesenen Aussage