Reelle Funktion/Differenzierbar/Konvex/Tangente/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist ${}f'$ wachsend. Es sei

${}s=f'(a)\,$

und es sei

${}I={\left\{x\in \mathbb {R} \mid f'(x)=s\right\}}\,.$

Dies ist ein (offenes oder abgeschlossenes, beschränktes oder unbeschränktes, einpunktiges oder mehrpunktiges) Intervall. Auf diesem Intervall besitzt ${}f$ die konstante Steigung ${}s$. Auf dem Abschluss dieses Intervalles stimmt ${}f$ mit der Tangente überein. Es ist zu zeigen, dass diese Tangente den Graphen in keinem weiteren Punkt schneidet. Nehmen wir an, dass es ein ${}b$ außerhalb des Abschlusses dieses Intervalls gibt, sagen wir oberhalb der oberen Grenze ${}d$ des Intervalls. Dann können wir den Mittelwertsatz auf das Intervall ${}[d,b]$ anwenden und erhalten ein ${}c\in ]d,b[$ mit ${}f'(c)=s$,

also einen Widerspruch.

Zur gelösten Aufgabe