Reelle Funktion/Exponentielle Gleichung/Stetig/Exponentielle Funktion/Aufgabe/Lösung

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Sei . Dann ist wegen

auch . Wegen

ist . Wegen

ist

von verschieden. Wegen

ist positiv. Wir vergleichen mit . Für stimmen die beiden Funktionen überein. Für ist aufgrund der Funktionalgleichung

Für ist wegen

also gilt die Gleichheit für . Für mit gilt wegen

und der eindeutigen Existenz von -ten Wurzeln

Daraus folgt über die Beziehung

auch die Übereinstimmung für negative rationale Argumente. Da nach Voraussetzung stetig ist und da stetig ist, und da es zu jeder reellen Zahl eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen konvergiert, müssen die beiden Funktionen nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit übereinstimmen.
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