Reelle Funktion/Exponentielle Gleichung/Stetig/Exponentielle Funktion/Aufgabe/Lösung

Es sei $f(u)\ne 0$. Dann ist wegen

$f(u)=f(u+0)=f(u)f(0)$

direkt  $f(0)=1$.  Wegen

$1=f(0)=f(1-1)=f(1)\cdot f(-1)$

ist

$b:=f(1)$

von $0$ verschieden. Wegen

$f(1)=f(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=f\left(\frac{1}{2}\right)f\left(\frac{1}{2}\right)={\left(f\left(\frac{1}{2}\right)\right)}^2$

ist $b$ positiv. Wir vergleichen $f(x)$ mit $b^x$. Für $x=0,1$ stimmen die beiden Funktionen überein. Für $x=n\in \mathbb{N}$ ist aufgrund der Funktionalgleichung

$f(n)=f(1{)}^n=b^n.$

Für $n\in {\mathbb{Z}}_{-}$ ist wegen  $1=f(0)=f(n-n)=f(n)f(-n)$ 

$f(n)=f(-n{)}^{-1}={\left(b^{-1}\right)}^{-n}=b^n,$

also gilt die Gleichheit für $n\in \mathbb{Z}$. Für $n=p/q\in {\mathbb{Q}}_{+}$ mit $p,q\in {\mathbb{N}}_{+}$ gilt wegen

$f(p)=f(q\cdot \frac{p}{q})={\left(f\left(\frac{p}{q}\right)\right)}^q$

und der eindeutigen Existenz von $q$-ten Wurzeln

$f\left(\frac{p}{q}\right)=\sqrt[q]{f(p)}=\sqrt[q]{b^p}=b^{\frac{p}{q}}.$

Daraus folgt über die Beziehung

$1=f(r-r)=f(r)\cdot f(-r)$

auch die Übereinstimmung für negative rationale Argumente. Da $f$ nach Voraussetzung stetig ist und da $b^x$ stetig ist, und da es zu jeder reellen Zahl $x$ eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen $x$ konvergiert, müssen die beiden Funktionen nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit übereinstimmen.

Zur gelösten Aufgabe