Reelle Funktion/Konvex/Graphtest/Aufgabe/Lösung

Die Hinrichtung ist klar, da Punkte des Graphen insbesondere zum Epigraphen gehören. Es sei nun die Bedingung für Punkte des Graphen erfüllt und seien ${}(a,y)$ und ${}(b,z)$ Punkte des Epigraphen, also ${}a,b\in I$ und ${}f(a)\leq y$ und ${}f(b)\leq z$. Die Verbindungsgerade zwischen ${}(a,y)$ und ${}(b,z)$ wird durch ${}(a+x,y+{\frac {z-y}{b-a}}x)$, ${}x\in [0,b-a]$, und die Verbindungsgerade zwischen ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ wird durch ${}(a+x,f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x)$, ${}x\in [0,b-a]$, beschrieben, wobei nach Voraussetzung die zweite Strecke sich ganz im Epigraphen bewegt. Für ${}x\in [0,b-a]$ ist

${}{\begin{aligned}y+{\frac {z-y}{b-a}}x&={\frac {b-a-x}{b-a}}y+{\frac {x}{b-a}}z\\&\geq {\frac {b-a-x}{b-a}}f(a)+{\frac {x}{b-a}}f(b)\\&=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x,\end{aligned}}$

daher bewegt sich auch die erste Strecke im Epigraphen.

Zur gelösten Aufgabe