Reelle Funktion/Offenes Intervall/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können annehmen, dass ${}f$ ein lokales Maximum in ${}c$ besitzt. Es gibt also ein ${}\epsilon >0$ mit ${}f(x)\leq f(c)$ für alle ${}x\in [c-\epsilon ,c+\epsilon ]$. Es sei ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit ${}c-\epsilon \leq s_{n}<c$, die gegen ${}c$ („von unten“) konvergiere. Dann ist ${}s_{n}-c<0$ und ${}f(s_{n})-f(c)\leq 0$ und somit ist der Differenzenquotient

${}{\frac {f(s_{n})-f(c)}{s_{n}-c}}\geq 0\,,$

was sich dann nach Fakt auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist ${}f'(c)\geq 0$. Für eine Folge ${}{\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}c+\epsilon \geq t_{n}>c$ gilt andererseits

${}{\frac {f(t_{n})-f(c)}{t_{n}-c}}\leq 0\,.$

Daher ist auch ${}f'(c)\leq 0$ und somit ist insgesamt ${}f'(c)=0$.

Zur bewiesenen Aussage