Reelle Funktion/Stetig/Konstant/Identität/Beispiel

Eine konstante Funktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼c,$

ist stetig. Zu jedem vorgegebenen $ϵ$ kann man hier ein beliebiges $\delta$ wählen, da ja ohnehin

$d(f(x),f(x^{\prime }))=d(c,c)=0\le ϵ$

gilt.

Die Identität

$ℝ⟶ℝ,x⟼x,$

ist ebenfalls stetig. Zu jedem vorgegebenen $ϵ$ kann man hier  $\delta =ϵ$  wählen, was zu der Tautologie führt: Wenn  $d(x,x^{\prime })\le \delta =ϵ$,  so ist

$d(f(x),f(x^{\prime }))=d(x,x^{\prime })\le ϵ.$