Reelle Funktion/Stetig/Konstant/Lineare Funktion/Beispiel

Eine konstante Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto c,$

ist stetig. Zu jedem vorgegebenen ${}\epsilon$ kann man hier ein beliebiges ${}\delta$ wählen, da ja ohnehin

${}d(f(x),f(x'))=d(c,c)=0\leq \epsilon \,$

gilt.

Eine lineare Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto cx,$

mit einem Proportionalitätsfaktor ${}c\neq 0$ (bei ${}c=0$ ist die Funktion konstant und somit auch stetig) ist ebenfalls stetig. Zu jedem vorgegebenen ${}\epsilon$ kann man unabhängig vom Punkt ${}x$ hier ${}\delta ={\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}$ wählen: Wenn nämlich

${}d(x,x')\leq \delta ={\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}\,$

gilt, so ist

${}d(f(x),f(x'))=d(cx,cx')=\vert {c}\vert d(x,x')\leq \vert {c}\vert \cdot \delta =\vert {c}\vert \cdot {\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}=\epsilon \,.$