Reelle Kurve/Y^4-Y^2+X^2/Trigonometrische Parametrisierung/Aufgabe/Lösung

Für einen beliebigen Winkel ${}\theta$ ist

${}\sin ^{4}\theta -\sin ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\theta {\left(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta -1\right)}=0\,,$

das Bild der Abbildung gehört also zur Kurve. Es sei

${}(x,y)\in C\,$

ein Punkt der Kurve. Es ist

${}y^{4}+x^{2}=y^{2}\,.$

Bei ${}y=0$ ist auch ${}x=0$ und wir haben die beiden Urbilder ${}\theta =0,\pi$. Bei ${}y\neq 0$ dividieren wir durch ${}y^{2}$ und erhalten

${}y^{2}+{\left({\frac {x}{y}}\right)}^{2}=1\,.$

Es liegt die Kreisgleichung vor, daher gibt es ein eindeutig bestimmtes ${}\theta$ mit

${}y=\sin \theta \,$

und

${}{\frac {x}{y}}=\cos \theta \,.$

Dann ist auch

${}x=\sin \theta \cos \theta \,.$

Zur gelösten Aufgabe