Reelle Mannigfaltigkeit/Exakte Differentialform/Wegintegral/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Voraussetzung ist

${}\omega =df\,$

mit einer differenzierbaren Funktion

$f\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Wir wenden die Kettenregel auf

$[a,b]{\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }$

an und erhalten damit und mit dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t),\gamma '(t))dt\\&=\int _{a}^{b}(df)_{\gamma (t)}(\gamma '(t))dt\\&=\int _{a}^{b}(f(\gamma (t))'dt\\&=f(\gamma (b))-f(\gamma (a)).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage