Wegen − 1 < x < 1 {\displaystyle {}-1<x<1} ist
positiv. Wir setzen ϵ := δ 2 {\displaystyle {}\epsilon :={\frac {\delta }{2}}} und damit ist
Wegen der Konvergenz der Quotientenfolge gibt es ein n 0 {\displaystyle {}n_{0}} derart, dass
für alle n ≥ n 0 {\displaystyle {}n\geq n_{0}} gilt. Mit
gilt somit
für alle n ≥ n 0 {\displaystyle {}n\geq n_{0}} .
ist
und damit ist
![{\displaystyle {}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]\subseteq [-1+\epsilon ,1-\epsilon ]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad4929757761905379df812cb5979291e4f9ebc)
derart, dass
![{\displaystyle {}x_{n}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\in [x-\epsilon ,x+\epsilon ]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15bfd1e646f890ab711a6ac3fd2a4b1c43db24de)
gilt. Mit
.
