Reelle Vektorräume/Endlichdimensional/Stetiger Gruppenhomomorphismus/Linear/Fakt/Beweis

Beweis

Aus der Gruppenhomomorphie folgt unmittelbar, dass ${}\mathbb {Z}$-Linearität vorliegt. Zu jedem Vektor  ${}v\in V$  und jedem  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  gibt es einen eindeutigen Vektor  ${}w\in V$  mit  ${}nw=v$,  nämlich ${}{\frac {1}{n}}v$. Daher ist

${}\varphi {\left({\frac {1}{n}}v\right)}={\frac {1}{n}}\varphi (v)\,$

und daraus ergibt sich die ${}\mathbb {Q}$-Linearität. Aus der Dichtheit von ${}\mathbb {Q}$ in ${}\mathbb {R}$ und der Stetigkeit der Abbildung folgt die ${}\mathbb {R}$-Linearität.

Zur bewiesenen Aussage