Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Folgerungen/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Wir betrachten ${}y/x$. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein ${}n$ mit  ${}n\geq y/x$.  Da ${}x$ positiv ist, gilt nach Fakt  (2) auch  ${}nx\geq y$. 
(2). Es ist ${}x^{-1}$ eine wohldefinierte, nach Fakt  (7) positive reelle Zahl. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es eine natürliche Zahl  ${}n\in \mathbb {N}$  mit  ${}n>x^{-1}$.  Dies ist nach Fakt  (8) äquivalent zu

${}{\frac {1}{n}}=n^{-1}<(x^{-1})^{-1}=x\,.$

(3). Wegen  ${}y>x$  ist  ${}y-x>0$  und daher gibt es nach (2) ein  ${}k\in \mathbb {N} _{+}$  mit  ${}{\frac {1}{k}}=y-x$.  Wegen (1) gibt es auch ein  ${}n'\in \mathbb {N}$  mit  ${}n'{\frac {1}{k}}>x$.  Wegen der Archimedes-Eigenschaft gibt es ein  ${}{\tilde {n}}\in \mathbb {N}$  mit  ${}{\tilde {n}}\geq -xk$.  Nach Fakt  (3) gilt daher  ${}(-{\tilde {n}}){\frac {1}{k}}\leq x$.  Daher gibt es auch ein  ${}n\in \mathbb {Z}$  derart, dass

$n{\frac {1}{k}}>x{\text{ und }}(n-1){\frac {1}{k}}\leq x$

ist. Damit ist einerseits  ${}x<{\frac {n}{k}}$  und andererseits

${}{\frac {n}{k}}={\frac {n-1}{k}}+{\frac {1}{k}}<x+y-x=y\,,$

wie gewünscht.

Zur bewiesenen Aussage