Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Folgerungen/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Wir betrachten ${}y/x$. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein ${}n$ mit ${}n\geq y/x$. Da ${}x$ positiv ist, gilt nach Fakt  (2) auch ${}nx\geq y$.
(2). Es ist ${}x^{-1}$ eine wohldefinierte, nach Fakt  (7) positive reelle Zahl. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}n>x^{-1}$. Dies ist nach Fakt  (8) äquivalent zu

${}{\frac {1}{n}}=n^{-1}<(x^{-1})^{-1}=x\,.$

(3). Wegen ${}y>x$ ist ${}y-x>0$ und daher gibt es nach (2) ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}{\frac {1}{k}}=y-x$. Wegen (1) gibt es auch ein ${}n'\in \mathbb {N}$ mit ${}n'{\frac {1}{k}}>x$. Wegen der Archimedes-Eigenschaft gibt es ein ${}{\tilde {n}}\in \mathbb {N}$ mit ${}{\tilde {n}}\geq -xk$. Nach Fakt  (3) gilt daher ${}(-{\tilde {n}}){\frac {1}{k}}\leq x$. Daher gibt es auch ein ${}n\in \mathbb {Z}$ derart, dass

$n{\frac {1}{k}}>x{\text{ und }}(n-1){\frac {1}{k}}\leq x$

ist. Damit ist einerseits ${}x<{\frac {n}{k}}$ und andererseits

${}{\frac {n}{k}}={\frac {n-1}{k}}+{\frac {1}{k}}<x+y-x=y\,,$

wie gewünscht.

Zur bewiesenen Aussage