Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Folgerungen/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Wir betrachten $y/x$. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein $n$ mit  $n\ge y/x$.  Da $x$ positiv ist, gilt nach Fakt  (2) auch  $nx\ge y$. 
(2). Es ist $x^{-1}$ eine wohldefinierte, nach Fakt  (7) positive reelle Zahl. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es eine natürliche Zahl  $n\in \mathbb{N}$  mit  $n>x^{-1}$.  Dies ist nach Fakt  (8) äquivalent zu

$\frac{1}{n}=n^{-1}<(x^{-1}{)}^{-1}=x.$

(3). Wegen  $y>x$  ist  $y-x>0$  und daher gibt es nach (2) ein  $k\in {\mathbb{N}}_{+}$  mit  $\frac{1}{k}\le y-x$.  Wegen (1) gibt es auch ein  $n^{\prime }\in \mathbb{N}$  mit  $n^{\prime }\frac{1}{k}>x$.  Wegen der Archimedes-Eigenschaft gibt es ein  $\tilde{n}\in \mathbb{N}$  mit  $\tilde{n}\ge -xk$.  Nach Fakt  (3) gilt daher  $(-\tilde{n})\frac{1}{k}\le x$.  Daher gibt es auch ein  $n\in \mathbb{Z}$  derart, dass

$n\frac{1}{k}>x\text{ und }(n-1)\frac{1}{k}\le x$

ist. Damit ist einerseits  $x<\frac{n}{k}$  und andererseits

$\frac{n}{k}=\frac{n-1}{k}+\frac{1}{k}<x+y-x=y,$

wie gewünscht.

Zur bewiesenen Aussage