Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Folgerungen/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Wir betrachten . Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein mit . Da positiv ist, gilt nach Fakt  (2) auch .
(2). Es ist eine wohldefinierte, nach Fakt  (7) positive reelle Zahl. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es eine natürliche Zahl mit . Dies ist nach Fakt  (8) äquivalent zu


(3). Wegen ist und daher gibt es nach (2) ein mit . Wegen (1) gibt es auch ein mit . Wegen der Archimedes-Eigenschaft gibt es ein mit . Nach Fakt  (3) gilt daher . Daher gibt es auch ein derart, dass

ist. Damit ist einerseits und andererseits

wie gewünscht.
Zur bewiesenen Aussage