Reelle Zahlen/Beliebige Wurzel/Als Supremum/Beispiel

Es sei  ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$  und  ${}k\in \mathbb {N}$.  Es sei

${}M={\left\{x\in \mathbb {R} _{\geq 0}\mid x^{k}\leq a\right\}}\,.$

Diese Menge ist wegen  ${}0\in M$  nicht leer und nach oben beschränkt (bei $a\leq 1$ ist ${}1$ eine obere Schranke, sonst ist ${}a$ eine obere Schranke). Es sei  ${}s={\operatorname {sup} \,{\left(M\right)}}$,  das es nach Fakt geben muss. Dann ist  ${}s^{k}=a$,  d.h. ${}s$ ist eine ${}k$-te Wurzel von ${}a$, da sowohl die Annahme  ${}s^{k}<a$  als auch die Annahme  ${}s^{k}>a$,  zu einem Widerspruch führt, siehe Aufgabe.