Reelle Zahlen/Bernoulli Ungleichung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n$. Bei ${}n=0$ steht beidseitig ${}1$, sodass die Aussage gilt. Es sei nun die Aussage für ${}n$ bereits bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}(1+x)^{n+1}&=(1+x)^{n}(1+x)\\&\geq (1+nx)(1+x)\\&=1+(n+1)x+nx^{2}\\&\geq 1+(n+1)x,\end{aligned}}$

da Quadrate (und positive Vielfache davon) in einem angeordneten Körper nichtnegativ sind.

Zur bewiesenen Aussage