Reelle Zahlen/Betrag/Verschobener Betrag/Vergleich/Aufgabe/Lösung

Wir setzen

${}c:={\frac {1}{\operatorname {max} \left(\vert {\alpha -1}\vert ,\,\vert {\alpha +1}\vert \right)}}\,.$

Für

${}x<\alpha -1\,$

ist

${}x-\alpha <-1\,$

und die Funktion links ist gleich

${}\vert {x-\alpha }\vert =-x+\alpha \,.$

Für

${}\alpha -1\leq x\leq \alpha +1\,$

ist einerseits

${}-1\leq x-\alpha \leq 1\,$

und somit

${}\vert {x-\alpha }\vert \leq 1\,,$

was bedeutet, dass die Funktion links ${}\geq 1$ ist. Andererseits ist

${}\vert {x}\vert \leq \operatorname {max} \left(\vert {\alpha -1}\vert ,\,\vert {\alpha +1}\vert \right)\,$

und damit

${}{\begin{aligned}c\cdot \vert {x}\vert &={\frac {1}{\operatorname {max} \left(\vert {\alpha -1}\vert ,\,\vert {\alpha +1}\vert \right)}}\cdot \vert {x}\vert \\&\leq {\frac {1}{\operatorname {max} \left(\vert {\alpha -1}\vert ,\,\vert {\alpha +1}\vert \right)}}\cdot \operatorname {max} \left(\vert {\alpha -1}\vert ,\,\vert {\alpha +1}\vert \right)\\&=1,\end{aligned}}$

was die Abschätzung für dieses Intervall sichert.

Zur gelösten Aufgabe