Reelle Zahlen/Betragseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \mid \!x\!\mid ,$

(dabei seien ${}x,y$ beliebige reelle Zahlen).

1. ${}\mid \!x\!\mid \geq 0$.
2. ${}\mid \!x\!\mid =0$ genau dann, wenn ${}x=0$ ist.
3. ${}\mid \!x\!\mid =\mid \!y\!\mid$ genau dann, wenn ${}x=y$ oder ${}x=-y$ ist.
4. ${}\mid \!y-x\!\mid =\mid \!x-y\!\mid$.
5. ${}\mid \!xy\!\mid =\mid \!x\!\mid \mid \!y\!\mid$.
6. Für ${}x\neq 0$ ist ${}\mid \!x^{-1}\!\mid =\mid \!x\!\mid ^{-1}$.
7. Es ist ${}\mid \!x+y\!\mid \leq \mid \!x\!\mid +\mid \!y\!\mid$ (Dreiecksungleichung für den Betrag).
8. Es ist ${}\mid \!x+y\!\mid \geq \mid \!x\!\mid -\mid \!y\!\mid$.

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