Reelle Zahlen/Betragseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

(dabei seien ${}x,y$ beliebige reelle Zahlen).

1. Es ist  ${}\vert {x}\vert \geq 0$. 
2. Es ist  ${}\vert {x}\vert =0$  genau dann, wenn  ${}x=0$  ist.
3. Es ist  ${}\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$  genau dann, wenn  ${}x=y$  oder  ${}x=-y$  ist.
4. Es ist  ${}\vert {y-x}\vert =\vert {x-y}\vert$. 
5. Es ist  ${}\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert$. 
6. Für  ${}x\neq 0$  ist  ${}\vert {x^{-1}}\vert =\vert {x}\vert ^{-1}$. 
7. Es ist  ${}\vert {x+y}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {y}\vert$  (Dreiecksungleichung für den Betrag).
8. Es ist  ${}\vert {x+y}\vert \geq \vert {x}\vert -\vert {y}\vert$. 

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