# Reelle Zahlen/Erststufige Aussagen/Fakt

Für die reellen Zahlen gelten folgende Aussagen über dem Symbolalphabet ${\displaystyle {}S=\{0,1,+,\cdot ,x_{n},n\in \mathbb {N} \}}$

1. Die Axiome eines angeordneten Körpers.
2. Für jedes ungerade ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ gilt
${\displaystyle \forall c_{0}\forall c_{1}\ldots \forall c_{n}{\left({\left(c_{n}\neq 0\right)}\rightarrow \exists x{\left(c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}=0\right)}\right)}.}$
3. Für jedes gerade ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ gilt
${\displaystyle \forall x{\left(\exists y{\left({\left(y^{n}=x\right)}\vee {\left(y^{n}=-x\right)}\right)}\right)}.}$
4. Für jeden ${\displaystyle {}S}$-Ausdruck ${\displaystyle {}\alpha }$ in einer freien Variablen ${\displaystyle {}x}$ gilt
${\displaystyle \exists x\alpha \wedge \exists b\forall x{\left(\alpha \rightarrow x\leq b\right)}\rightarrow \exists s{\left(\forall x{\left(\alpha \rightarrow x\leq s\right)}\wedge \forall c\forall x{\left(\alpha \rightarrow x\leq c\right)}\rightarrow s\leq c\right)}.}$
5. Für jeden ${\displaystyle {}S}$-Ausdruck ${\displaystyle {}\alpha }$ in einer freien Variablen ${\displaystyle {}x}$ gilt
${\displaystyle {\left(\exists x\alpha \wedge \exists x\neg \alpha \wedge \forall x\forall y{\left(x\leq y\rightarrow {\left(\alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \alpha \right)}\right)}\wedge \forall x\forall y{\left(y\leq x\rightarrow {\left(\neg \alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \neg \alpha \right)}\right)}\right)}\rightarrow \exists s{\left(\forall x{\left(\alpha \rightarrow x\leq s\right)}\wedge \forall x{\left(\neg \alpha \rightarrow x\geq s\right)}\right)}.}$