Reelle Zahlen/Erststufige Aussagen/Fakt

Für die reellen Zahlen gelten folgende Aussagen über dem Symbolalphabet  $S=\{0,1,+,\cdot ,x_n,n\in \mathbb{N}\}$ 

1. Die Axiome eines angeordneten Körpers.
2. Für jedes ungerade  $n\in \mathbb{N}$  gilt

   $\mathrm{\forall }{c}_0\mathrm{\forall }{c}_1\dots \mathrm{\forall }{c}_n((c_n\ne 0)\to \mathrm{\exists }x(c_n{x}^n+c_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_0=0)).$

3. Für jedes gerade  $n\in \mathbb{N}$  gilt

   $\mathrm{\forall }x\left(\mathrm{\exists }y((y^n=x)\vee (y^n=-x))\right).$

4. Für jeden $S$-Ausdruck $\alpha$ in einer freien Variablen $x$ gilt

   $\mathrm{\exists }x\alpha \wedge \mathrm{\exists }b\mathrm{\forall }x(\alpha \to x\le b)\to \mathrm{\exists }s(\mathrm{\forall }x(\alpha \to x\le s)\wedge \mathrm{\forall }c\mathrm{\forall }x(\alpha \to x\le c)\to s\le c).$

5. Für jeden $S$-Ausdruck $\alpha$ in einer freien Variablen $x$ gilt

   $(\mathrm{\exists }x\alpha \wedge \mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }\alpha \wedge \mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y(x\le y\to (\alpha \frac{y}{x}\to \alpha ))\wedge \mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y(y\le x\to (\mathrm{\neg }\alpha \frac{y}{x}\to \mathrm{\neg }\alpha )))\to \mathrm{\exists }s(\mathrm{\forall }x(\alpha \to x\le s)\wedge \mathrm{\forall }x(\mathrm{\neg }\alpha \to x\ge s)).$

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