Reelle Zahlen/Folge/Beschränkt monoton/Konvergiert/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten den Fall, wo die Folge wachsend ist. Aufgrund von Fakt besitzt die Menge , , ein Supremum . Wir behaupten, dass dieses der Grenzwert der Folge ist. Sei vorgegeben. Da das Supremum ist, also die kleinste obere Schranke, so kann keine obere Schranke sein. Das bedeutet, dass es ein gibt mit . Wegen der Monotonie ist dann  für alle . Damit ist

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