Reelle Zahlen/Folge/Beschränkt monoton/Konvergiert/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir betrachten den Fall, wo die Folge wachsend ist. Aufgrund von Fakt besitzt die Menge ${}x_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ein Supremum ${}x\in \mathbb {R}$. Wir behaupten, dass dieses ${}x$ der Grenzwert der Folge ist. Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Da ${}x$ das Supremum ist, also die kleinste obere Schranke, so kann ${}x-\epsilon$ keine obere Schranke sein. Das bedeutet, dass es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ gibt mit ${}x_{n_{0}}\geq x-\epsilon$. Wegen der Monotonie ist dann ${}x_{n}\geq x-\epsilon$ für alle ${}n\geq n_{0}$. Damit ist

${}\vert {x-x_{n}}\vert =x-x_{n}\leq \epsilon \,.$

Zur bewiesenen Aussage