Reelle Zahlen/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt/Beweis

Beweis

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte $x,y$, $x\ne y$, gibt. Dann ist  $d:=|x-y|>0$.  Wir betrachten  $ϵ:=d/3>0$.  Wegen der Konvergenz gegen $x$ gibt es ein $n_0$ mit

$|x_n-x|\le ϵ\text{ für }\text{alle }n\ge n_0$

und wegen der Konvergenz gegen $y$ gibt es ein ${n_0}^{\prime }$ mit

$|x_n-y|\le ϵ\text{ für }\text{alle }n\ge {n_0}^{\prime }.$

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für  $n\ge max\{n_0,{n_0}^{\prime }\}$.  Es sei $n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch

$d=|x-y|\le |x-x_n|+|x_n-y|\le ϵ+ϵ=2d/3.$

Zur bewiesenen Aussage