Reelle Zahlen/Funktion/Grenzwert gegen unendlich/Definition

Grenzwert einer Funktion gegen unendlich

Es sei  ${}T=[a,\infty ]$  (oder ${}T=[-\infty ,a]$) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt  ${}b\in \mathbb {R}$  Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ für ${}x\rightarrow +\infty$ (bzw. $x\rightarrow -\infty$), wenn es für jedes  ${}\epsilon >0$  ein  ${}x_{0}\geq a$  (bzw. ${}x_{0}\leq a$) gibt mit  ${}\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon$  für alle  ${}x\geq x_{0}$  (bzw. ${}x\leq x_{0}$). In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)=b\,$

(bzw. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow -\infty }\,f(x)=b$).