Reelle Zahlen/Intervall/Rationale Grenzen/Isomorph zu Einheitsintervall/Aufgabe/Lösung

Wir definieren die Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ durch

${}\varphi (x):={\left(b-a\right)}x+a\,.$

Da es sich bis auf die Verschiebung um ${}a$ um eine lineare Funktion mit einem positiven Proportionalitätsfaktor handelt, ist sie nach Fakt  (1) streng wachsend und auch bijektiv. Es ist offenbar ${}\varphi (0)=a$ und ${}\varphi (1)=b$. Somit ist

${}\varphi ([0,1])\subseteq [a,b]\,$

und die Abbildung lässt sich auf die Intervalle zu einer bijektiven Abbildung einschränken. Für eine rationale Zahl ${}x={\frac {r}{s}}\in [0,1]$ ist

${}\varphi (x)=\varphi {\left({\frac {r}{s}}\right)}=(b-a){\frac {r}{s}}+a\,$

wegen der Rationalität von ${}a$ und ${}b$

wieder rational.

Zur gelösten Aufgabe