Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt

Rechenregeln für konvergente Folgen

Es seien ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergente Folgen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Folge ${(x_n+y_n)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist konvergent und es gilt

   $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_n+y_n)=\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\right)+\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n\right).$

2. Die Folge ${(x_n\cdot y_n)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist konvergent und es gilt

   $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_n\cdot y_n)=\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\right)\cdot \left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n\right).$

3. Für  $c\in ℝ$  gilt

   $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}c{x}_n=c\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\right).$

4. Es sei  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x\ne 0$  und  $x_n\ne 0$  für alle  $n\in \mathbb{N}$.  Dann ist ${\left(\frac{1}{x_n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ ebenfalls konvergent mit

   $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x_n}=\frac{1}{x}.$

5. Es sei  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x\ne 0$  und  $x_n\ne 0$  für alle  $n\in \mathbb{N}$.  Dann ist ${\left(\frac{y_n}{x_n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ ebenfalls konvergent mit

   $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{y_n}{x_n}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n}{x}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen