Beweis
(1). Es seien
bzw.
die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei
vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu
-
![{\displaystyle {}\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1662e5d5610d860298747ddb4036f7a11980efac)
ein
derart, dass für alle
die Abschätzung
-
![{\displaystyle {}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon '\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08538bef338972a895e5a418fbee166aa9257ff6)
gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu
ein
derart, dass für alle
die Abschätzung
-
![{\displaystyle {}\vert {y_{n}-y}\vert \leq \epsilon '\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c5c6259068e0c14b16fe1caca0ca5f2e29d27b)
gilt. Sei
-
![{\displaystyle {}N={\max {\left(n_{0},n_{0}'\right)}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869a99ee60ec60777df597ead7824e9920b9609c)
Dann gilt für alle
(unter Verwendung der
Dreiecksungleichung)
die Abschätzung
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {x_{n}+y_{n}-(x+y)}\vert &=\vert {x_{n}+y_{n}-x-y}\vert \\&=\vert {x_{n}-x+y_{n}-y}\vert \\&\leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {y_{n}-y}\vert \\&\leq \epsilon '+\epsilon '\\&=\epsilon .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052bff2e77e4c5500fc0d0a30a20cdd19d92f94b)
(2). Sei
vorgegeben. Die konvergente Folge
ist nach
Fakt
insbesondere
beschränkt
und daher existiert ein
mit
für alle
.
Sei
und
.
Wir setzen
.
Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen
und
mit
-
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle
.
Für diese Zahlen gilt daher
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {x_{n}y_{n}-xy}\vert &=\vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy}\vert \\&\leq \vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y}\vert +\vert {x_{n}y-xy}\vert \\&=\vert {x_{n}}\vert \vert {y_{n}-y}\vert +\vert {y}\vert \vert {x_{n}-x}\vert \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cebb0cd82424fabe0d61037050e945e693c9d100)
Für die anderen Teile siehe
Aufgabe,
Aufgabe
und
Aufgabe.