Beweis
(1). Es seien
bzw.
die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei
vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu
-

ein
derart, dass für alle
die Abschätzung
-

gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu
ein
derart, dass für alle
die Abschätzung
-

gilt. Sei
-

Dann gilt für alle
(unter Verwendung der
Dreiecksungleichung)
die Abschätzung

(2). Sei
vorgegeben. Die konvergente Folge
ist nach
Fakt
insbesondere
beschränkt
und daher existiert ein
mit
für alle
.
Sei
und
.
Wir setzen
.
Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen
und
mit
-
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle
.
Für diese Zahlen gilt daher

Für die anderen Teile siehe
Aufgabe,
Aufgabe
und
Aufgabe.