Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Es seien bzw. die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu

ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Sei

Dann gilt für alle (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung


(2). Sei vorgegeben. Die konvergente Folge ist nach Fakt insbesondere beschränkt und daher existiert ein mit für alle . Sei und . Wir setzen . Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen und mit

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle . Für diese Zahlen gilt daher


Für die anderen Teile siehe Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.