Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt/Beweis

Beweis

(2). Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${}\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach Fakt insbesondere beschränkt und daher existiert ein ${}D>0$ mit ${}\mid \!x_{n}\!\mid \leq D$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Sei ${}x:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ und ${}y:=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ . Wir setzen ${}C=\max\{D,\mid \!y\!\mid \}$ . Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen ${}N_{1}$ und ${}N_{2}$ mit

\mid \!x_{n}-x\!\mid \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{1}{\text{ und }}\mid \!y_{n}-y\!\mid \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{2}.

Diese Abschätzungen gelten dann auch für ${}n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$ . Für diese Zahlen gilt daher

{}{\begin{aligned}\mid \!x_{n}y_{n}-xy\!\mid &=\mid \!x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy\!\mid \\&\leq \mid \!x_{n}y_{n}-x_{n}y\!\mid +\mid \!x_{n}y-xy\!\mid \\&=\mid \!x_{n}\!\mid \mid \!y_{n}-y\!\mid +\mid \!y\!\mid \mid \!x_{n}-x\!\mid \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}

(4). Da der Limes der Folge ${}\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ nicht ${}0$ ist, gilt für ${}n\geq N_{1}$ die Bedingung ${}\mid \!x_{n}\!\mid \geq {\frac {\mid \!x\!\mid }{2}}$ und damit ${}{\frac {1}{\mid \!x_{n}\!\mid }}\leq {\frac {2}{\mid \!x\!\mid }}$ . Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${}\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein ${}N_{2}$ mit