Reelle Zahlen/Vergleich mit rationalen Zahlen/Formulierung in einer freien Variablen/Aufgabe

Es sei ${}\{0,1,+,\cdot ,\geq \}$ das Symbolalphabet für einen angeordneten Körper. Wir betrachten zu ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$ die Ausdrücke ${}\alpha _{m,n}$ in der einen freien Variablen ${}x$, die durch

$x+\cdots +x\geq 1+\cdots +1$

gegeben sind, wobei links ${}m$ mal ${}x$ und rechts ${}n$ mal ${}1$ steht. Wir betrachten den angeordneten Körper ${}\mathbb {R}$.

1. Zeige mit Hilfe von ${}\alpha _{m,n}$, dass verschiedene reelle Zahlen nicht zueinander elementar äquivalent sind.
2. Zeige, dass nicht alle reellen Zahlen durch einen Ausdruck in einer freien Variablen charakterisierbar sind.
3. Zeige, dass jede rationale Zahl (innerhalb der reellen Zahlen) durch einen Ausdruck in einer freien Variablen charakterisierbar ist.

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