Reelle Zahlen/Zwei konvergente Folgen/Vergleich/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $x$ und $y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei

$x<y$

angenommen. Wir setzen

$\delta :=y-x$

und

$ϵ=\frac{1}{3}\cdot \delta >0.$

Dann sind die $ϵ$-Umgebungen $[x-ϵ,x+ϵ]$ und $[y-ϵ,y+ϵ]$ disjunkt. Zu diesem $ϵ$ gibt es ein (gemeinsames) $n_0$ derart, dass für alle  $n\ge n_0$  die Folgenglieder $x_n\in [x-ϵ,x+ϵ]$ und die Folgenglieder $y_n\in [y-ϵ,y+ϵ]$ liegen. Somit ergibt sich

$x_n\le x+ϵ<y-ϵ\le y_n,$

ein Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur gelösten Aufgabe