Reelle Zahlen/Zwei konvergente Folgen/Vergleich/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}x$ und ${}y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei

${}x<y\,$

angenommen. Wir setzen

${}\delta :=y-x\,$

und

${}\epsilon ={\frac {1}{3}}\cdot \delta >0\,.$

Dann sind die ${}\epsilon$-Umgebungen ${}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]$ und ${}[y-\epsilon ,y+\epsilon ]$ disjunkt. Zu diesem ${}\epsilon$ gibt es ein (gemeinsames) ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Folgenglieder ${}x_{n}\in [x-\epsilon ,x+\epsilon ]$ und die Folgenglieder ${}y_{n}\in [y-\epsilon ,y+\epsilon ]$ liegen. Somit ergibt sich

${}x_{n}\leq x+\epsilon <y-\epsilon \leq y_{n}\,,$

ein Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur gelösten Aufgabe