Reeller Folgenraum/Maximale Ideale/Zorn/Beispiel

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Wir betrachten die Menge

Diese Menge ist mit komponentenweiser Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring (mit der konstanten Nullfolge bzw. Einsfolge als und ). Zu jedem festen ist die Menge

ein maximales Ideal. Die Idealeigenschaft kann man unmittelbar nachprüfen, die Maximalität ergibt sich daraus, dass ein größeres Ideal

ein Element mit enthält. Dann ist

mit und daher ist . Mit dieser Konstruktion bekommt man also direkt maximale Ideale. Die Restklassenkörper zu diesen maximalen Idealen sind (isomorph zu) , der Restklassenhomomorphismus ist einfach die Projektion auf die -te Komponente.

Wir betrachten nun das Ideal

das ist also die Menge aller Folgen, die bis auf endlich viele Glieder mit der Nullfolge übereinstimmen. Es gibt daher nach (einer Variante von) Fakt maximale Ideale mit

Es ist

da die Folge, die an der -ten Stelle eine und sonst überall eine stehen hat, links dazu gehört, aber nicht rechts. Ein solches maximales Ideal kann man nicht explizit beschreiben. Selbst wenn man sich auf Folgen beschränkt, die lediglich die beiden Werte oder annehmen, so ist kein explizites Verfahren bekannt, zu bestimmen, ob die Folge zu gehören soll oder nicht. Für jede Folge mit unendlich vielen Nullen und mit unendlich vielen Einsen gibt es ein solches maximales Ideal , das diese Folge enthält, und auch eines, das sie nicht enthält.

Die Restklassenkörper zu einem solchen maximalen Ideal sind nicht isomorph zu . Die dabei auftretenden Körper sind vielmehr der Gegenstand der sogenannten Nichtstandardanalysis.