Reeller Folgenraum/Maximale Ideale/Zorn/Beispiel

Wir betrachten die Menge

${}R:=\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{reelle Folge}}\right\}}\,.$

Diese Menge ist mit komponentenweiser Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring (mit der konstanten Nullfolge bzw. Einsfolge als ${}0$ und ${}1$). Zu jedem festen ${}k\in \mathbb {N}$ ist die Menge

${}I_{k}={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in R\mid x_{k}=0\right\}}\,$

ein maximales Ideal. Die Idealeigenschaft kann man unmittelbar nachprüfen, die Maximalität ergibt sich daraus, dass ein größeres Ideal

${}I_{k}\subset I\,$

ein Element ${}y={\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}y_{k}\neq 0$ enthält. Dann ist

${}{\frac {1}{y_{k}}}y+{\left(1-{\frac {1}{y_{k}}}y\right)}=1\,$

mit ${}1-{\frac {1}{y_{k}}}y\in I_{k}$ und daher ist ${}1\in I$. Mit dieser Konstruktion bekommt man also direkt maximale Ideale. Die Restklassenkörper zu diesen maximalen Idealen sind (isomorph zu) ${}\mathbb {R}$, der Restklassenhomomorphismus ist einfach die Projektion auf die ${}k$-te Komponente.

Wir betrachten nun das Ideal

${}I={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid x_{n}\neq 0{\text{ für endlich viele }}n\in \mathbb {N} \right\}}\,,$

das ist also die Menge aller Folgen, die bis auf endlich viele Glieder mit der Nullfolge übereinstimmen. Es gibt daher nach (einer Variante von) Fakt maximale Ideale ${}{\mathfrak {m}}$ mit

${}I\subseteq {\mathfrak {m}}\,.$

Es ist

${}{\mathfrak {m}}\not \subseteq I_{k}\,,$

da die Folge, die an der ${}k$-ten Stelle eine ${}1$ und sonst überall eine ${}0$ stehen hat, links dazu gehört, aber nicht rechts. Ein solches maximales Ideal kann man nicht explizit beschreiben. Selbst wenn man sich auf Folgen beschränkt, die lediglich die beiden Werte ${}0$ oder ${}1$ annehmen, so ist kein explizites Verfahren bekannt, zu bestimmen, ob die Folge zu ${}{\mathfrak {m}}$ gehören soll oder nicht. Für jede Folge mit unendlich vielen Nullen und mit unendlich vielen Einsen gibt es ein solches maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$, das diese Folge enthält, und auch eines, das sie nicht enthält.

Die Restklassenkörper zu einem solchen maximalen Ideal sind nicht isomorph zu ${}\mathbb {R}$. Die dabei auftretenden Körper sind vielmehr der Gegenstand der sogenannten Nichtstandardanalysis.