Reeller Funktionsverlauf/Extrema/2x^3-5x^2+4x-1/Von -2 bis 5/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung der Funktion ist

{}f'(x)=6x^{2}-10x+4\,.

Man sieht direkt, dass ${}1$ eine Nullstelle der Ableitung ist, und es ergibt sich die Faktorzerlegung

{}6x^{2}-10x+4=(x-1)(6x-4)\,,

weshalb bei ${}{\frac {2}{3}}$ eine weitere Nullstelle vorliegt. Die zweite Ableitung ist

{}f^{\prime \prime }(x)=12x-10\,.

Diese hat bei ${}x=1$ einen positiven Wert, sodass dort nach Fakt ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert

{}f(1)=2-5+4-1=0\,

vorliegt. Wegen

{}f^{\prime \prime }{\left({\frac {2}{3}}\right)}=12\cdot {\frac {2}{3}}-10=-2\,

liegt in ${}{\frac {2}{3}}$ ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert

{}2{\left({\frac {2}{3}}\right)}^{3}-5{\left({\frac {2}{3}}\right)}^{2}+4\cdot {\frac {2}{3}}-1={\frac {2\cdot 8-5\cdot 12+4\cdot 18-27}{27}}={\frac {1}{27}}\,.

An den Intervallgrenzen hat die Funktion die Werte

{}f(-2)=2(-2)^{3}-5(-2)^{2}+4(-2)-1=-45\,

bzw.

{}f(5)=2\cdot 5^{3}-5\cdot 5^{2}+4\cdot 5-1=144\,.

Daher liegt am linken Rand das absolute Minimum und am rechten Rand das absolute Maximum vor.