Reellwertige Funktion/Extrema/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt  ${}x\in M$  das Maximum annimmt, wenn

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}},$

und dass ${}f$ das Minimum annimmt, wenn

$f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$

Die gemeinsame Bezeichnung für ein Maximum oder ein Minimum ist Extremum. In der vorstehenden Definition spricht man auch von dem globalen Maximum, da darin Bezug auf sämtliche Elemente der Definitionsmenge genommen wird. Interessiert man sich nur für das Verhalten in einer offenen, eventuell kleinen Umgebung, so gelangt man zum Begriff des lokalen Maximums.

Definition

Es sei  ${}D\subseteq \mathbb {R}$  eine Teilmenge und sei

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt  ${}x\in D$  ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein  ${}\epsilon >0$  derart gibt, dass für alle  ${}x'\in D$  mit  ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$  die Abschätzung

${}f(x)\geq f(x')\,$

gilt. Man sagt, dass ${}f$ in  ${}x\in D$  ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein  ${}\epsilon >0$  derart gibt, dass für alle  ${}x'\in D$  mit  ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$  die Abschätzung

${}f(x)\leq f(x')\,$

gilt.

Wenn  ${}f(x)>f(x')$  für alle  ${}x'\neq x$  gilt, so spricht man von einem isolierten Maximum.