Reellwertige Funktion auf R^3/Einschränkung auf Ebene/Gradient/Koordinantenfrei/Bemerkung

Zu einer differenzierbaren Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ lässt sich der Gradient (bezüglich des Standardskalarproduktes) einfach durch partielles Differenzieren berechnen. Es wäre aber eine künstliche Einschränkung, nur diese Situation zu betrachten. Um dies zu illustrieren sei beispielsweise

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion und ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine Ebene, die etwa als Lösungsmenge der linearen Gleichung ${}5x-4y+9z=0$ gegeben sei. Dann induziert das Standardskalarprodukt des ${}\mathbb {R} ^{3}$ durch Einschränkung ein Skalarprodukt auf ${}E$. Diese Ebene ist zwar isomorph zu ${}\mathbb {R} ^{2}$, es ergibt aber keinen Sinn, das eingeschränkte Skalarprodukt als Standardskalarprodukt anzusprechen. Der Gradient ${}G$ zu ${}f$ in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$ lässt sich direkt mit den partiellen Ableitungen zu den drei Raumkoordinaten berechnen. Bei ${}P\in E$ wird im Allgemeinen der Gradient nicht auf ${}E$ liegen. Die eingeschränkte Funktion

$f{|}_{E}\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$

ist aber ebenfalls differenzierbar und besitzt daher einen Gradienten ${}{\tilde {G}}$, der auf ${}E$ liegt, und dieser lässt sich nicht über partielle Ableitungen berechnen, da es auf ${}E$ keine Standardbasis gibt. Übrigens ist ${}{\tilde {G}}$ die orthogonale Projektion von ${}G$ auf ${}E$.