Reguläre Hyperfläche/Kurven/Tangentiale Realisierung/Motivation/Bemerkung

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine differenzierbare Kurve, die ganz in ${}Y$ verläuft, wobei ${}I$ ein offenes Intervall ist. Dann gehört zu jedem Zeitpunkt ${}t\in I$ die Ableitung ${}\gamma '(t)$ zum Tangentialraum an ${}Y$ im Punkt ${}\gamma (t)$. Dies beruht auf der Konstanz ${}h\circ \gamma =c$, woraus mit der Kettenregel

${}\left(Dh\circ \gamma \right)_{t}=\left(Dh\right)_{\gamma (t)}\circ \left(D\gamma \right)_{t}=\left(Dh\right)_{\gamma (t)}(\gamma '(t))=0\,,$

also ${}\gamma '(t)\in \operatorname {kern} \left(Dh\right)_{\gamma (t)}=T_{\gamma (t)}Y$ folgt. Mit Aufgabe ergibt sich ferner, dass jeder Tangentialvektor in ${}P$ an ${}Y$ sich durch eine differenzierbare Kurve auf ${}Y$ realisieren lässt. Der Tangentialraum lässt sich also durch differenzierbare Kurven allein auf ${}Y$ sinnvoll beschreiben, wobei die Differenzierbarkeit der Kurven den umgebenden Raum voraussetzt.