Reguläre Hyperfläche/Kurven/Tangentiale Realisierung/Motivation/Bemerkung

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  $c\in ℝ$,  wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei

$\gamma :I⟶{ℝ}^n$

eine differenzierbare Kurve, die ganz in $Y$ verläuft, wobei $I$ ein offenes Intervall ist. Dann gehört zu jedem Zeitpunkt  $t\in I$  die Ableitung ${\gamma }^{\prime }(t)$ zum Tangentialraum an $Y$ im Punkt $\gamma (t)$. Dies beruht auf der Konstanz  $h\circ \gamma =c$,  woraus mit der Kettenregel

${(Dh\circ \gamma )}_t={\left(Dh\right)}_{\gamma (t)}\circ {\left(D\gamma \right)}_t={\left(Dh\right)}_{\gamma (t)}({\gamma }^{\prime }(t))=0,$

also  ${\gamma }^{\prime }(t)\in \mathrm{kern}{\left(Dh\right)}_{\gamma (t)}=T_{\gamma (t)}Y$  folgt. Mit Aufgabe ergibt sich ferner, dass jeder Tangentialvektor in $P$ an $Y$ sich durch eine differenzierbare Kurve auf $Y$ realisieren lässt. Der Tangentialraum lässt sich also durch differenzierbare Kurven allein auf $Y$ sinnvoll beschreiben, wobei die Differenzierbarkeit der Kurven den umgebenden Raum voraussetzt.