Reguläre Punkte/Faser/X^2+Y^3+Z^7+XYZ ist 0/Aufgabe/Lösung

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Die Jacobi-Matrix von ist

Bei sind alle partiellen Ableitungen gleich , dort liegt also ein nichtregulärer Punkt der Faser vor.

Wir müssen zeigen, dass es keinen weiteren nichtregulären Punkt auf der Faser gibt. Wenn alle Einträge der Jacobi-Matrix gleich sind, so ist aufgrund der ersten partiellen Ableitung

und damit ist aufgrund der zweiten partiellen Ableitung

Bei ist und wegen auch . Es sei also und somit

und

Die dritte partielle Ableitung liefert

Bei sind wieder alle drei Komponenten . Daher ist

Der Wert der Funktion an diesem Punkt ist

Daher ist dies kein Punkt der Faser.