Reguläre Punkte/Faser/X^2+Y^3+Z^7+XYZ ist 0/Aufgabe/Lösung

Die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$ ist

${\begin{pmatrix}2x+yz\\3y^{2}+xz\\7z^{6}+xy\end{pmatrix}}.$

Bei ${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$ sind alle partiellen Ableitungen gleich ${}0$, dort liegt also ein nichtregulärer Punkt der Faser vor.

Wir müssen zeigen, dass es keinen weiteren nichtregulären Punkt auf der Faser gibt. Wenn alle Einträge der Jacobi-Matrix gleich ${}0$ sind, so ist aufgrund der ersten partiellen Ableitung

${}x=-{\frac {yz}{2}}\,$

und damit ist aufgrund der zweiten partiellen Ableitung

${}0=3y^{2}-{\frac {yz^{2}}{2}}=y{\left(3y-{\frac {z^{2}}{2}}\right)}\,.$

Bei ${}y=0$ ist ${}x=0$ und wegen ${}\varphi (x,y,z)=0$ auch ${}z=0$. Es sei also ${}y\neq 0$ und somit

${}y={\frac {z^{2}}{6}}\,$

und

${}x=-{\frac {z^{3}}{12}}\,.$

Die dritte partielle Ableitung liefert

${}0=7z^{6}-{\frac {z^{3}}{12}}\cdot {\frac {z^{2}}{6}}=z^{5}{\left(7z-{\frac {1}{72}}\right)}\,.$

Bei ${}z=0$ sind wieder alle drei Komponenten ${}0$. Daher ist

${}z={\frac {1}{504}}\,.$

Der Wert der Funktion an diesem Punkt ist

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {1}{504}}\right)}^{6}\cdot {\frac {1}{144}}+{\left({\frac {1}{504}}\right)}^{6}\cdot {\frac {1}{216}}+{\left({\frac {1}{504}}\right)}^{7}-{\frac {1}{12}}\cdot {\frac {1}{6}}\cdot {\left({\frac {1}{504}}\right)}^{6}&={\left({\frac {1}{504}}\right)}^{6}\cdot {\left({\frac {1}{144}}+{\frac {1}{216}}+{\frac {1}{504}}-{\frac {1}{72}}\right)}\\&={\left({\frac {1}{504}}\right)}^{6}\cdot {\frac {1}{72}}\cdot {\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}-1\right)}\\&={\left({\frac {1}{504}}\right)}^{6}\cdot {\frac {1}{72}}\cdot {\frac {21+14+6-42}{42}}\\&={\left({\frac {1}{504}}\right)}^{6}\cdot {\frac {1}{72}}\cdot {\frac {-1}{42}}\\&\neq 0.\,\end{aligned}}$

Daher ist dies kein Punkt der Faser.

Zur gelösten Aufgabe