Reguläre Punkte/Stetig differenzierbar/Offen/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}\varphi _{i}$ die Koordinatenfunktionen zu ${}\varphi$ und sei

${}J(P)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{n}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial \varphi _{n}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$

die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$. Die Abbildung ist in einem Punkt ${}P\in G$ genau dann regulär, wenn die Jacobi-Matrix bijektiv ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante ungleich ${}0$ ist. Nach Voraussetzung sind die Einträge in der Matrix stetige Funktionen. Da die Determinante eine polynomiale Funktion ist, ist die Gesamtabbildung

$G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,P\longmapsto \det J(P),$

stetig. Die Menge der regulären Punkte ist das Urbild der offenen Menge ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$ unter dieser Abbildung, also offen.

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