Reguläre Punkte und Fasern/(x,y) nach x hoch y/Beispiel

Die Fasern der Abbildung $(x,y)\mapsto x^{y}$ für ${}c=e$ (rot) und ${}c=-e$ (grün).

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{y}$

und knüpfen an Beispiel an. Der einzige kritische Punkt ist ${}P=(1,0)$, ansonsten ist die Abbildung in jedem Punkt regulär und daher lassen sich lokal die Fasern als Graphen beschreiben. Die Faser über ${}1$ besteht aus der durch ${}x=1$ gegebenen Geraden und der durch ${}y=0$ gegebenen Halbgeraden, die sich im kritischen Punkt senkrecht schneiden. Ansonsten sind die Fasern durch die Gleichung

${}x^{y}=c\,$

mit einem ${}c\in \mathbb {R} _{+}$, ${}c\neq 1$, bestimmt (für nichtpositives ${}c$ sind die Fasern leer). Wir schreiben diese Bedingung als ${}e^{(\ln x)y}=c$ und daher als

${}(\ln x)y=\ln c\,.$

Wegen ${}x\neq 1$ kann man dies zu ${}y={\frac {\ln c}{\ln x}}$ auflösen und wegen ${}y\neq 0$ zu

${}x=e^{\frac {\ln c}{y}}\,.$

Die Faser besteht jeweils aus zwei Komponenten, die ${}x>1$ bzw. ${}x<1$ entsprechen.