Reguläre Punkte und Fasern/(x,y) nach x hoch y/Beispiel

Die Fasern der Abbildung $(x,y)\mapsto x^y$ für $c=e$ (rot) und $c=-e$ (grün).

Wir betrachten die Abbildung

$\phi :{ℝ}_{+}\times ℝ⟶ℝ,(x,y)⟼x^y$

und knüpfen an Beispiel an. Der einzige kritische Punkt ist  $P=(1,0)$,  ansonsten ist die Abbildung in jedem Punkt regulär und daher lassen sich lokal die Fasern als Graphen beschreiben. Die Faser über $1$ besteht aus der durch  $x=1$  gegebenen Geraden und der durch  $y=0$  gegebenen Halbgeraden, die sich im kritischen Punkt senkrecht schneiden. Ansonsten sind die Fasern durch die Gleichung

$x^y=c$

mit einem  $c\in {ℝ}_{+}$,   $c\ne 1$,  bestimmt (für nichtpositives $c$ sind die Fasern leer). Wir schreiben diese Bedingung als  $e^{(\ln x)y}=c$  und daher als

$(\ln x)y=\ln c.$

Wegen  $x\ne 1$  kann man dies zu  $y=\frac{\ln c}{\ln x}$  auflösen und wegen  $y\ne 0$  zu

$x=e^{\frac{\ln c}{y}}.$

Die Faser besteht jeweils aus zwei Komponenten, die  $x>1$  bzw.  $x<1$  entsprechen.