Reguläre Punkte und Extrema/(x,y) nach x hoch y/Beispiel

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Wir betrachten die Abbildung

Nach Aufgabe ist

Die partiellen Ableitungen sind

Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist der einzige kritische Punkt. Die Hesse-Matrix in einem Punkt ist

In ist dies

Nach Fakt ist daher die Hesse-Form im kritischen Punkt weder positiv definit noch negativ definit. Man kann direkt zeigen, dass diese Matrix indefinit ist (vom Typ ), da diese Bilinearform auf positiv und auf negativ definit ist. Nach Fakt liegt in diesem Punkt also kein Extremum vor.

Dies kann man auch ohne Differentialrechnung erkennen. Für oder ist . Ansonsten gelten die folgenden Beziehungen.

  1. Für und ist .
  2. Für und ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .

Daher gibt es in jeder Umgebung von Punkte, an denen die Funktionswerte größer bzw. kleiner als sind.