Reihe/Folge/C/Bijektion/Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {R}}$ die Menge aller komplexen Reihen und ${}{\mathcal {F}}$ die Menge aller komplexen Folgen. Zeige, dass die Zuordnungen

${\mathcal {R}}\longrightarrow {\mathcal {F}},\,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\longmapsto (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\text{ mit }}x_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k},$

und

${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {R}},\,(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\longmapsto \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ mit }}a_{0}:=x_{0}{\text{ und }}a_{k}:=x_{k}-x_{k-1}{\text{ für }}k\geq 1,$

zueinander invers sind und eine Bijektion zwischen ${}{\mathcal {R}}$ und ${}{\mathcal {F}}$

festlegen. Zeige, dass sich dabei die Konvergenzbegriffe entsprechen und dass sich reelle Reihen und reelle Folgen entsprechen. Zeige ferner, dass sich im reellen Fall Reihen mit nichtnegativen Reihengliedern und wachsende Folgen entsprechen.

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