Reihe/Harmonische Reihe/Beispiel

Die harmonische Reihe ist die Reihe

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}.$

Es geht also um die „unendliche Summe“ der Stammbrüche

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots .$

Diese Reihe divergiert: Für die $2^n$ Zahlen  $k=2^n+1,\dots ,2^{n+1}$  ist

$\sum _{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}\ge \sum _{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{2^{n+1}}=2^n\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}.$

Daher ist

$\sum _{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}=1+\sum _{i=0}^n\left(\sum _{k=2^i+1}^{2^{i+1}}\frac{1}{k}\right)\ge 1+(n+1)\frac{1}{2}.$

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Fakt nicht konvergent sein.