Reihen/Absolute Konvergenz und Konvergenz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium an. Aufgrund der absoluten Konvergenz gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq m\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert =\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Daher ist

${}\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert \leq \epsilon \,,$

was die Konvergenz bedeutet.

Zur bewiesenen Aussage