Reihen/C/Produkt/Quadratrand/Aufgabe/Lösung

Das Produkt $a_{i} b_{j}$ geht einzig in den Summanden $d_{k}$ mit $k = \max (i, j)$ ein, bei $i = j$ sichert die zweite Summationsgrenze, dass dieses Produkt nicht doppelt gezählt wird.
Für die Partialsummen
$x_{n} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i}, y_{n} = \sum_{j = 0}^{n} b_{j} und z_{n} = \sum_{k = 0}^{n} d_{k}$

gilt direkt

$\begin{matrix} x_{n} y_{n} & = (\sum_{i = 0}^{n} a_{i}) (\sum_{j = 0}^{n} b_{j}) \\ = \sum_{0 \leq i, j \leq n} a_{i} b_{j} \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\sum_{0 \leq i, j \leq n, \max (i, j) = k} a_{i} b_{j}) \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\sum_{j = 0}^{k} a_{k} b_{j} + \sum_{i = 0}^{k - 1} a_{i} b_{k}) \\ = \sum_{k = 0}^{n} d_{k} \\ = z_{n} . \end{matrix}$

Das heißt, dass $z_{n}$ das Produkt der jeweiligen Partialsummenfolgen ist und daher nach Fakt (2) gegen das Produkt der Grenzwerte konvergiert.