Reine Gleichung/Zerfällungskörper/Gradabschätzung/Aufgabe/Lösung

Wenn das Polynom schon über ${}\mathbb {Q}$ eine Nullstelle besitzt, so ist die Aussage klar, da es dann um den Zerfällungskörper eines Polynoms vom maximalen Grad ${}n-1$ handelt, dessen Grad maximal gleich

${}(n-1)!\leq {\frac {n!}{2}}\,$

ist. Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine Körpererweiterung vom Grad ${}\leq n$, unter der das Polynom eine Nullstelle ${}u\in K$ bekommt. Zu ${}K$ gehört auch ${}-u\neq u$, und da ${}n$ gerade ist, ist dies ebenfalls eine Nullstelle. Somit gilt über ${}K$

${}X^{n}-a=(X-u)(X+u)Q\,,$

und man braucht maximal den Grad ${}(n-2)!$, um ${}Q$ zu zerfällen. Insgesamt ist der benötigte Grad also gleich ${}n\cdot (n-2)!$. Dabei ist

${}n\cdot (n-2)!\leq {\frac {n!}{2}}\,,$

da dies zu

${}2n\leq n(n-1)\,$

äquivalent ist, was wegen ${}n\geq 4$

erfüllt ist.

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