Reine kubische Gleichung/Z/Norm/Spur/Charakteristisches Polynom/Beispiel

Es sei  ${}R=\mathbb {Z} [X]/\left(X^{3}-q\right)$  mit  ${}q\in \mathbb {Z}$.  Zu einem Element  ${}a+bx+cx^{2}\in R$  (oder in ${}\mathbb {Q} [X]/\left(X^{3}-q\right)$) ist die Multiplikationsmatrix gleich

${\begin{pmatrix}a&cq&bq\\b&a&cq\\c&b&a\end{pmatrix}}.$

Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\det {\begin{pmatrix}T-a&-cq&-bq\\-b&T-a&-cq\\-c&-b&T-a\end{pmatrix}}\\&=(T-a)^{3}-(T-a)bcq+b\left(-cq(T-a)-b^{2}q\right)-c(c^{2}q^{2}+bq(T-a))\\&=(T-a)^{3}-(T-a)bcq-bcq(T-a)-b^{3}q-c^{3}q^{2}-bcq(T-a)\\&=T^{3}-3aT^{2}+\left(3a^{2}-3bcq\right)T-a^{3}+3abcq-b^{3}q-c^{3}q^{2}\,\end{aligned}}$

Insbesondere ist die Spur gleich ${}3a$ und die Norm gleich ${}a^{3}-3abcq+b^{3}q+c^{3}q^{2}$.