Reine kubische Gleichung/q ist pm 1 mod 9/Quadratische Ausdrücke/Aufgabe/Lösung

Wegen

${}z={\frac {1+qx+x^{2}}{3}}\,$

ist direkt

${}x^{2}=3z-1-qx=-1-qx+3z\,.$

Ferner ist

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} \begin{align} xz & = \frac{ x+qx^2+x^3 }{ 3 } \\ & = \frac{ x+q { \left( 3z-1-qx \right) } +q }{ 3 } \\ & = \frac{ 1-q^2 }{ 3 } x + qz \end{align} }

(wegen der Kongruenzbedingung ist ${}{\frac {1-q^{2}}{3}}$ ganzzahlig) und

${}{\begin{aligned}z^{2}&={\left({\frac {1+qx+x^{2}}{3}}\right)}^{2}\\&={\frac {1+q^{2}x^{2}+x^{4}+2x^{2}+2qx+2qx^{3}}{9}}\\&={\frac {1+2q^{2}+3qx+(q^{2}+2)x^{2}}{9}}\\&={\frac {1+2q^{2}+3qx+(q^{2}+2){\left(3z-1-qx\right)}}{9}}\\&={\frac {1+2q^{2}-q^{2}-2}{9}}+{\frac {3q-q{\left(q^{2}+2\right)}}{9}}x+{\frac {q^{2}+2}{3}}z\\&={\frac {q^{2}-1}{9}}+{\frac {-q^{3}-q}{9}}x+{\frac {q^{2}+2}{3}}z,\end{aligned}}$

wobei die Koeffizienten wieder ganzzahlig sind.

Zur gelösten Aufgabe