Reine kubische Gleichung/q ist pm 1 mod 9/Quadratische Ausdrücke/Aufgabe

Es sei $q$ eine Primzahl mit  $q=\pm 1mod9$  und sei

$R=\mathbb{Z}[x,z]\subseteq \mathbb{Q}[X]/(X^3-q)$

mit  $z=\frac{1+qx+x^2}{3}$  der zugehörige kubische Zahlbereich, siehe Fakt. Bestimme Darstellungen für $x^2,xz,z^2$ bezüglich der Ganzheitsbasis $1,x,z$.

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