Relation/Anordnung/Fokus auf R/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien $X$ und $Y$ Mengen. Eine Relation zwischen $X$ und $Y$ ist eine Teilmenge  $R\subseteq X\times Y$. 

D.h. bei einer Relation stehen gewisse Paare $(x,y)$ in der gegebenen Relation, und die anderen Paare eben nicht. Man schreibt dafür  $(x,y)\in R$  oder $R(x,y)$ oder $xRy$. Im Moment sind wir an Ordnungsrelationen interessiert, die folgendermaßen definiert werden.

Definition

Eine Relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist  $i\preccurlyeq i$  für alle  $i\in I$. 
2. Aus  $i\preccurlyeq j$  und  $j\preccurlyeq k$  folgt stets  $i\preccurlyeq k$. 
3. Aus  $i\preccurlyeq j$  und  $j\preccurlyeq i$  folgt  $i=j$. 

Definition

Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$ heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen  $x,y\in I$  die Beziehung $x\preccurlyeq y$ oder $y\preccurlyeq x$ gilt.

Wenn auf einer Menge $M$ eine totale Ordnung vorliegt, so bezeichnet man für zwei Elemente  $x,y\in M$  das kleinere der beiden mit $min(x,y)$ und das größere mit $max(x,y)$. Man spricht vom Minimum und vom Maximum.