Relation/Anordnung/Fokus auf R/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ Mengen. Eine Relation zwischen ${}X$ und ${}Y$ ist eine Teilmenge ${}R\subseteq X\times Y$.

D.h. bei einer Relation stehen gewisse Paare ${}(x,y)$ in der gegebenen Relation, und die anderen Paare eben nicht. Man schreibt dafür ${}(x,y)\in R$ oder ${}R(x,y)$ oder ${}xRy$. Im Moment sind wir an Ordnungsrelationen interessiert, die folgendermaßen definiert werden.

Definition

Eine Relation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.

Definition

Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen ${}x,y\in I$ die Beziehung ${}x\preccurlyeq y$ oder ${}y\preccurlyeq x$ gilt.

Wenn auf einer Menge ${}M$ eine totale Ordnung vorliegt, so bezeichnet man für zwei Elemente ${}x,y\in M$ das kleinere der beiden mit ${}{\min {\left(x,y\right)}}$ und das größere mit ${}{\max {\left(x,y\right)}}$. Man spricht vom Minimum und vom Maximum.