Relation/Reflexiv und transitiv/Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation auf Quotientenmenge/Aufgabe/Lösung

1. Die Reflexivität ist klar. Zur Symmetrie: Sei ${}x\sim y$, also ${}x\preccurlyeq y$ und ${}y\preccurlyeq x$. Somit gilt auch ${}y\sim x$. Zur Transitivität: Sei ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$. Dies bedeutet ${}x\preccurlyeq y$ und ${}y\preccurlyeq x$ und ${}y\preccurlyeq z$ und ${}z\preccurlyeq y$. Die Transitivität von ${}\preccurlyeq$ liefert ${}x\preccurlyeq z$ und ${}z\preccurlyeq x$. Dies bedeutet ${}x\sim z$.
2. Es sei ${}[x]=[u]$ und ${}[y]=[v]$ und es gelte ${}x\preccurlyeq y$. Da ${}u$ zu ${}x$ und ${}v$ zu ${}y$ äquivalent sind, gilt insbesondere ${}u\preccurlyeq x$ und ${}y\preccurlyeq v$. Eine doppelte Anwendung der Transitivität von ${}\preccurlyeq$ liefert ${}u\preccurlyeq v$, was die Wohldefiniertheit besagt.
3. Nach Definition von ${}\leq$ auf ${}Q$ gilt ${}[x]\leq [y]$ genau dann, wenn ${}x\preccurlyeq y$ gilt. Somit ergibt sich die Reflexivität und die Transitivität von ${}\leq$ unmittelbar aus den entsprechenden Eigenschaften von ${}\preccurlyeq$. Zur Antisymmetrie: Sei ${}[x]\leq [y]$ und ${}[y]\leq [x]$. Dies bedeutet ${}x\preccurlyeq y$ und ${}y\preccurlyeq x$, was wiederum ${}x\sim y$, also ${}[x]=[y]$, bedeutet.

Zur gelösten Aufgabe