Relation/Reflexiv und transitiv/Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation auf Quotientenmenge/Aufgabe/Lösung

1. Die Reflexivität ist klar. Zur Symmetrie: Sei  ${}x\sim y$,  also  ${}x\preccurlyeq y$  und  ${}y\preccurlyeq x$.  Somit gilt auch  ${}y\sim x$.  Zur Transitivität: Sei  ${}x\sim y$  und  ${}y\sim z$.  Dies bedeutet  ${}x\preccurlyeq y$  und  ${}y\preccurlyeq x$  und  ${}y\preccurlyeq z$  und  ${}z\preccurlyeq y$.  Die Transitivität von ${}\preccurlyeq$ liefert  ${}x\preccurlyeq z$  und  ${}z\preccurlyeq x$.  Dies bedeutet  ${}x\sim z$. 
2. Es sei  ${}[x]=[u]$  und  ${}[y]=[v]$  und es gelte  ${}x\preccurlyeq y$.  Da ${}u$ zu ${}x$ und ${}v$ zu ${}y$ äquivalent sind, gilt insbesondere  ${}u\preccurlyeq x$  und  ${}y\preccurlyeq v$.  Eine doppelte Anwendung der Transitivität von ${}\preccurlyeq$ liefert  ${}u\preccurlyeq v$,  was die Wohldefiniertheit besagt.
3. Nach Definition von ${}\leq$ auf ${}Q$ gilt  ${}[x]\leq [y]$  genau dann, wenn  ${}x\preccurlyeq y$  gilt. Somit ergibt sich die Reflexivität und die Transitivität von ${}\leq$ unmittelbar aus den entsprechenden Eigenschaften von ${}\preccurlyeq$. Zur Antisymmetrie: Sei  ${}[x]\leq [y]$  und  ${}[y]\leq [x]$.  Dies bedeutet  ${}x\preccurlyeq y$  und  ${}y\preccurlyeq x$,  was wiederum  ${}x\sim y$,  also  ${}[x]=[y]$,  bedeutet.

Zur gelösten Aufgabe