Relation/Reflexiv und transitiv/Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation auf Quotientenmenge/Aufgabe/Lösung

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  1. Die Reflexivität ist klar. Zur Symmetrie: Sei , also und . Somit gilt auch . Zur Transitivität: Sei und . Dies bedeutet und und und . Die Transitivität von liefert und . Dies bedeutet .
  2. Es sei und und es gelte . Da zu und zu äquivalent sind, gilt insbesondere und . Eine doppelte Anwendung der Transitivität von liefert , was die Wohldefiniertheit besagt.
  3. Nach Definition von auf gilt genau dann, wenn gilt. Somit ergibt sich die Reflexivität und die Transitivität von unmittelbar aus den entsprechenden Eigenschaften von . Zur Antisymmetrie: Sei und . Dies bedeutet und , was wiederum , also , bedeutet.
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