Relationssymbole/Interpretation/Substitution/Lineare Unabhängigkeit/Aufgabe/Lösung

1. Wenn drei Vektoren linear unabhängig sind, so sind insbesondere je zwei davon linear unabhängig.
2. Dies gilt im Allgemeinen nicht. Dazu sei ${}V=\mathbb {R} ^{2}$ und wir betrachten die drei Vektoren ${}(1,0),(1,1),(0,1)$. Die drei Vektoren sind insgesamt linear abhängig, da in einem zweidimensionalen Vektorraum drei Vektoren immer linear abhängig sind. Dagegen ist jede Auswahl von zwei der Vektoren linear unabhängig, da keiner der Vektoren ein Vielfaches eines anderen ist.
3. In einem eindimensionalen (oder nulldimensionalen) Vektorraum ${}V$ gilt die Aussage, da es dort keine zwei linear unabhängigen Vektoren gibt und daher der Vordersatz stets falsch ist und somit die Gesamtaussage stimmt.
4. Die Standardvektoren im ${}\mathbb {R} ^{3}$ sind eine Basis und insbesondere linear unabhängig, daher gilt die Aussage.
5. Die ${}{\sqrt {2}}$ ist keine rationale Zahl, daher sind die beiden reellen Zahlen ${}1$ und ${}{\sqrt {2}}$ über ${}\mathbb {Q}$ linear unabhängig, und daher gilt diese Aussage.

Zur gelösten Aufgabe