Relationssymbole/Interpretation/Substitution/Lineare Unabhängigkeit/Aufgabe

Es sei $L^S$ die prädikatenlogische Sprache, die neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol $A$ und einem dreistelligen Relationssymbol $B$ bestehe. Wir betrachten $S$-Interpretationen $I$, wobei die Grundmenge jeweils aus einem Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ bestehe und $A$ als die lineare Unabhängigkeit von zwei und $B$ als die lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren interpretiert werde.

1. Zeige

   $I\models Bxyz\to Axy.$

2. Gilt

   $I\models Axy\wedge Axz\wedge Ayz\to Bxyz$

   für einen beliebigen Vektorraum?

3. Gibt es Vektorräume, für die die Aussage in Teil 2 gilt?
4. Es sei $V={ℝ}^3$ und $e_1,e_2,e_3$ sei die Standardbasis. Gilt

   $I\frac{e_1,e_2,e_3}{x,y,z}\models Bxyz?$

5. Es sei $V=ℝ$ als $\mathbb{Q}$-Vektorraum betrachtet. Gilt

   $I\frac{1,\sqrt{2}}{x,y}\models Axy?$

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen